Akar-Akar
Persamaan Linear Dengan Metoda Setengah Interval (Interval Bisection)
Metoda
setengah interval atau disebut juga metoda interval tengah adalah salah satu
cara yang sering digunakan untuk mencari suatu akar. Misalkan kita mengetahui
bahwa f(x) = 0 memiliki satu akar antara x = a dan x = b ; maka f(a) dan f(b)
memiliki tanda berlawanan (diasumsikan bahwa grafik f(x) adalah menerus antara
a dan b ) sekarang kita lihat bahwa c adalah pertengahan antara a dan b , yaitu
c = 
(a+b), dan menghasilkan f(c). Jika f(c) memiliki tanda
yang sama seperti f(a), maka akarnya terletak antara c dan b; atau kemungkinan
lain akarnya terletak antara a dan c. Kemudian dikurangi interval dalam
menentukan letak akar menjadi setengah
dari lebar rentang aslinya. Kita ulang proses tersebut, pengurangan interval
menjadi 1/4 , 1/8, 1/16, .... sampai kita dapat menentukan akarnya sesuai
dengan keakuratan yang kita inginkan.
(a+b), dan menghasilkan f(c). Jika f(c) memiliki tanda
yang sama seperti f(a), maka akarnya terletak antara c dan b; atau kemungkinan
lain akarnya terletak antara a dan c. Kemudian dikurangi interval dalam
menentukan letak akar menjadi setengah
dari lebar rentang aslinya. Kita ulang proses tersebut, pengurangan interval
menjadi 1/4 , 1/8, 1/16, .... sampai kita dapat menentukan akarnya sesuai
dengan keakuratan yang kita inginkan.
Prosedur hitungan secara grafis untuk mendapatkan akar persamaan :
1. Hitung fungsi interval yang sama dari x sampai pada
perubahan tanda dari fungsi f(xn) dan f(xn+1) , yaitu
apabila f(xn) x f(xn+1) < 0 .
2. Estimasi pertama dari akar xt dihitung
dengan
xt
= { xn + xn+1 } (3.3)
{ xn + xn+1 } (3.3)
3. Buat
evaluasi berikut untuk menentukan di dalam sub interval mana aakar persamaan
berada :
a. Jika f(xn) x f(xn+1) < 0 ,
akar persamaan berada pada sub interval pertama, kemudian tetapkan xn+1
= xt dan lanjutkan pada langkah ke 4
b. Jika f(xn)
x f(xn+1) > 0 , akar persamaan berada pada sub interval kedua,
kemudian tetapkan xn = xt
dan lanjutkan pada langkah ke 4
c. Jika f(xn)
x f(xn+1) = 0 , akar persamaan adalah xt dan hitungan
selesai.
4. Hitung perkiraan baru
dari akar dengan persamaan (3.3)
5. Apabila
perkiraan baru sudah cukup kecil (sesuai dengan batasan yang ditentukan ), maka
hitungan selesai, dan xt adalah akar persamaan yang dicari. jika
belum, maka hitungan kembali ke langkah 3.
y f(x)
x1 x3 x5 x4 x2
x
x1 x3 x2
x4
x5
Gambar 3.2. Prosedur perhitungan
Contoh :
Hitung salah satu akar dari persamaan pangkat tiga
berikut :
f(x)
= x3 + x2 - 3x - 3 = 0
Penyelesaian :
Menerka dua nilai bilangan yang memberikan nilai
f(x) berbeda tanda, misal :
x = 1 dan x = 2
untuk x = 1 ,
f(1) = 13 + 12 - 3(1) - 3 = -4
untuk x = 2 ,
f(2) = 23 + 22 - 3(2) - 3 = 3
Dihitung nilai
xt = 
= 
=1,5
= =1,5
F(xt =1,5) = 1,53 +1,52
- 3(1,5) - 3 = -1,875
Oleh karena nilai fungsi berubah tanda antara x =
1,5 dan x = 2 , maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. Langkah
selanjutnya membuat setengah interval berikutnya untuk membuat interval yang
lebih kecil. Adapun hasil perhitungan ada pada Tabel. 3.1
Tabel 3.1. Hasil perhitungan metoda interval
bagi-dua
|
Iterasi
|
Xn
|
Xn+1
|
Xt
|
f(xn)
|
f(xn+1)
|
f(xt)
|
|
1
|
1
|
2
|
1,5
|
-4,0
|
3,0
|
-1,875
|
|
2
|
1,5
|
2
|
1,75
|
-1,875
|
3,0
|
0,17187
|
|
3
|
1,5
|
1,75
|
1,625
|
-1,875
|
0,17187
|
-0,94335
|
|
4
|
1,625
|
1,75
|
1,6875
|
-0,94335
|
0,17187
|
0,40942
|
|
5
|
1,6875
|
1,75
|
1,71875
|
-0,40942
|
0,17187
|
-0,12478
|
|
6
|
1,71875
|
1,75
|
1,733437
|
-0,12478
|
0,17187
|
-0,02198
|
|
7
|
1,71875
|
1,73437
|
1,72656
|
-0,12478
|
0,17187
|
0,021198
|
|
..
|
..
|
..
|
..
|
..
|
..
|
..
|
|
¥
|
..
|
..
|
1,73205
|
..
|
..
|
-0,00000
|
Dibawah
ini ada program yang menggunakan metoda interval bagi-dua untuk menyelesaikan
persamaan : e-x - x = 0 (3.2)
tetapi dengan mengubah baris 20 dapat digunakan
untuk persamaan lainnya. Dalam program ini f(a) dan f(c) diberi tanda dengan F
dan G. Pengujian antara dua bilangan yang berlawanan tanda dengan menguji hasil
perkaliannya adalah negatif.
Yang
utama dalam metode interval bagi-dua adalah kemampuan memperkirakan initial
limit (pendekatan awal) dan ketelitian yang dikehendaki kita, sehingga program
dapat bekerja sampai berapa step/langkah yang kita inginkan. Hal yang menarik
tentang metode interval bagi-dua adalah bahwa kita ingin mengetahui hanya tanda
dari f(c) bukan nilainya.
0 komentar:
Posting Komentar